Curiosidades da Matemática
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
(texto extraído do Almanaque
Abril-2005) e (imagens adaptadas pelo Prof.Daniel Lemos)
algarismos
de hoje (0, 1, 2, 3... até 9), o sistema caldeu tinha 60 símbolos. É por isso
que uma hora, desde então, é dividida em 60
minutos,
e o dia e a noite têm 12 horas (12 é a quinta parte de 60). Pelo mesmo motivo,
o ano é dividido em 12 meses. Já na
geometria,
o círculo tem 360º, que é seis vezes 60.
que
não podem ser escritas na forma usual, como quatro quintos (quatro dividido por
cinco) ou três quartos. Um exemplo é a raiz
quadrada
de 2; não existem dois números que, divididos um pelo outro, dêem esse
resultado. Para escrever esse número é preciso
usar
infinitos algarismos. De maneira aproximada, ele vale 1,4142135.
religioso,
tentou banir o estudo dos números irracionais porque não aceitava que eles
tivessem de ser escritos com infinitos
algarismos.
Apesar de seu esforço, os irracionais foram aceitos, como se aceitaram, também,
as somas infinitas. Uma delas manda
somar
1 mais meio mais a metade de meio, que é um quarto, mais a metade de um quarto
(um oitavo) mais a metade disso (um
dezesseis
avos), e assim por diante, indefinidamente. Mas, se a soma possui infinitas
parcelas, como pode ser somada? Pois os
gregos
arranjaram um meio de fazer a conta, descobrindo que o resultado é simplesmente
2.
conhecimentos
acumulados até então por seu povo nos dois séculos anteriores, além de diversos
teoremas que ele mesmo
demonstra.
O resultado é o livro Elementos.
250 –
Fugindo da tradição grega, que era centrada na geometria, Diofante (século III)
inicia um estudo rigoroso de diversos problemas
numa
área da matemática hoje chamada de álgebra. Uma questão típica algébrica (muito
simples): se um homem tem certa idade
e seu
filho, de 10 anos, a metade dessa idade menos cinco anos, quantos anos tem o
pai? Em forma matemática, essa pergunta se
escreveria:
10 = x/2 - 5.
500 –
O algarismo zero até essa época sempre fica subentendido ao escrever um número
que precise dele (como o 10, no sistema
atual).
Um indiano, cujo nome se perdeu na história, cria um símbolo para o zero. Os
árabes começam a usá-lo por volta do ano
700.
Em 810, ele aparece explicitamente num texto do sábio Muhammad ibn Al-Khwarizmi
(780-850).
empregados
atualmente para escrever os números. Até então, os europeus utilizavam os
algarismos romanos, como o I (que vale 1),
1535
– Encontra-se um método para resolver as equações algébricas de terceiro grau.
São aquelas em que a incógnita aparece
elevada
ao cubo, como na equação x³ + 1 = 0.
A autoria da fórmula é disputada por dois italianos:
Niccolò Tartaglia (1499-1557) e
Geronimo
Cardano (1501-1576).
1545
– Primeira sugestão de que certas contas podem ter como resultado um número
negativo. A proposta causa espanto porque,
na
época, parece absurdo algo ser menor que nada, ou seja, zero. O italiano
Geronimo Cardano, no entanto, usa os novos números
para
resolver problemas como o de alguém que gastou mais do que possui no banco,
tendo então saldo negativo. Assim, ele resolve
equações
que até então ficavam sem resposta.
1551
– Surge a trigonometria, que facilita muito os cálculos, especialmente os
celestes, em que é preciso somar, diminuir ou
multiplicar
valores de ângulos. A trigonometria estabelece regras que transformam os
ângulos em números comuns. Exemplo: em
vez
de um ângulo de 30º, pode-se falar no seno de 30, que vale 0,5. O criador do
novo cálculo é o alemão Georg Joachim Iserin von
Lauchen
(1514-1576), conhecido como Rético, aluno do astrônomo polonês Nicolau
Copérnico .
Complicar
para simplificar – Diversas novidades na matemática são criadas para evitar o
trabalho que dá efetuar contas muito
extensas
e em grande quantidade. É assim que surgem tanto a trigonometria como o
logaritmo, duas ferramentas de uso bastante
sofisticado.
Mas quem precisa fazer cálculos muito trabalhosos percebe vantagens numa
complicação aparentemente
desnecessária.
A ciência e a tecnologia não se teriam desenvolvido sem esses instrumentos
essenciais.
1591
– O francês François Viète (1540-1603) abandona a prática de escrever
matemática por meio de palavras. Até então, as
equações,
os números e as incógnitas eram apresentados por extenso, de maneira trabalhosa
e confusa. Viète passa a representar
suas
equações utilizando como símbolos as letras do alfabeto. Uma soma, por exemplo,
fica assim: x+y = z. Isso torna a resolução
de
problemas extremamente mais fácil.
1614
– Publica-se a primeira tábua de logaritmos. Seu autor é o escocês John Napier
(1550-1617). O logaritmo simplifica cálculos
muito
trabalhosos por meio do uso de expoentes, como 2³, que significa 2 x 2 x 2. Ou
seja, 8.
disciplina
é uma espécie de mistura entre a álgebra e a geometria, pois Descartes ensina a
transformar pontos, retas e
circunferências
em números. Depois
mostra como fazer contas com as figuras geométricas. Na geometria analítica, um
ponto pode
ser
escrito como um par de números na forma (1, 2). Uma reta pode ser uma equação
como x + y = b.
O método
científico – No mesmo livro em que desenvolve a geometria analítica, Discurso
sobre o Método, Descartes também
estabelece
os fundamentos da ciência da maneira como é entendida até hoje. Para ele, não
basta empregar o raciocínio e a lógica
para
entender a natureza e o mundo. Observar e interpretar os fatos, como faziam os
antigos, é importante, mas as interpretações
devem
ser, em seguida, submetidas à experimentação. Numa palavra, é preciso testar
aquilo que se pensa estar acontecendo.
Muitos
outros sábios, como o italiano Galileu Galilei e o inglês Francis Bacon
(1561-1626), escrevem e falam sobre o método
científico.
Mas é com Descartes que ele ganha aceitação completa.
1654
– O cálculo das probabilidades é criado pelos matemáticos franceses Pierre de
Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal
(1623-1662),
que também era físico. Curiosamente, eles desenvolvem esse novo ramo da
matemática quase como uma diversão,
com
base em um problema levado a eles por um jogador de dados, Chevalier de Mere.
De Mere pergunta se é possível prever os
resultados
de um jogo. Os matemáticos dizem que sim - pelo menos em certas circunstâncias
e até certo ponto.
1669
– O físico inglês Isaac Newton (1642-1727) inventa o cálculo diferencial e
integral. Com ele, torna-se possível calcular a área
ou o
volume de qualquer figura geométrica, não importa sua forma. Até então, para
cada figura era preciso criar uma fórmula diferente.
Revolução
matemática – O cálculo diferencial e integral, que Newton desenvolve ao mesmo
tempo que o alemão Wilheim Leibniz
(1646-1716),
revoluciona a matemática. Para saber a área de um círculo, utilizando a nova
ferramenta, basta dividir esse círculo em
quadrados
iguais, bem pequenos. Em seguida, calcula-se a área de um quadrado e
multiplica-se pelo número total de quadrados.
Com
isso, acha-se a área (ou o volume, se for o caso) de qualquer figura. Os
quadrados têm de ser infinitamente pequenos para
encher
toda a borda do círculo, e o número de quadrados precisa ser infinito.
Portanto, a área total será uma soma de infinitos
termos,
tipo de soma que os gregos já sabiam fazer havia mais de 2 mil anos.
1685
– Criação dos chamados números imaginários. Eles aparecem quase como um
complemento dos números negativos.
Durante
muito tempo, ninguém sabe dizer qual seria a raiz quadrada de -1 (menos um).
Essa conta não dá -1, pois -1 é raiz de 1
(porque
-1 vezes -1 é 1). Ela também não dá 1, que também é raiz de 1. O inglês John
Wallis (1616-1703) resolveu a questão criando
um
número, chamado i, que é a raiz quadrada de -1. Quer dizer que i vezes i dá -1.
O i é o mais simples dos números imaginários,
que,
apesar do nome, são tão verdadeiros quanto os outros números.
1744
– A família de números transcendentais entra para o mundo da matemática
encontrada pelo suíço Leonard Euler (1707-1783).
Euler
estuda as chamadas equações algébricas, que possuem, por exemplo, a forma
x²+x+1= 0. Percebe que elas têm todos os
tipos
de solução: números inteiros, imaginários, irracionais, frações etc. Mas
nenhuma equação dessa categoria jamais dá, por
exemplo,
uma resposta igual a p (3,1416...). Hoje se sabe que existem infinitos números
que nunca podem ser solução de uma
equação
algébrica. São os chamados transcendentais.
1822
– O desenvolvimento da geometria projetiva abre caminho para a geometria
moderna. Esse novo ramo de estudo analisa as
formas
geométricas de vários ângulos. Assim, uma pirâmide vista de cima aparece como
um quadrado; vista de lado, torna-se um
1824
– O norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829) descobre que é impossível resolver
as equações de quinto grau. Durante anos,
os
matemáticos haviam procurado uma fórmula para chegar a um resultado. São
equações em que a incógnita vem elevada à quinta
potência,
na forma x5+x4+x³+x²+x+1 = 0.
1826
– A geometria não euclidiana é criada pelo russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky
(1792-1856). Segundo ele, para que os
teoremas
de Euclides sejam válidos é desnecessário supor que só dá para construir uma
paralela a uma reta passando por um ponto
fora
dessa reta. Esse conceito vinha sendo um dos alicerces da geometria desde cerca
de 300 a .C.
Com base na idéia oposta, de
que é
possível construir infinitas paralelas a uma reta passando por um ponto fora
dessa reta, Lobachevsky elabora a nova geometria.
1874
– Demonstra-se que existem números maiores que o infinito. Eles são chamados
pelo alemão Georg Cantor (1845-1918) de
transfinitos.
Na série dos números inteiros, que vai de 1, 2, 3 até o infinito, há infinitos
números. Em outra seqüência, além do 1, 2,
3 até
o infinito, entram também todas as suas frações (como o 1,0001, por exemplo).
Dá para provar que essa seqüência é maior
que a
primeira série. Então, como essa é infinita, a quantidade de números da segunda
seqüência é maior que o infinito.
1899
– A geometria passa pela reforma mais profunda desde sua criação, mais de dois
milênios atrás. O autor é o alemão
David
Hilbert (1862-1943), que analisa todas as novidades incorporadas à matemática
nos séculos anteriores e a geometria é
reescrita.
1931
– O alemão Kurt Gödel (1906-1978) demonstra que, dentro de qualquer sistema
matemático, como a álgebra ou a geometria,
sempre
existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.
especialmente
o norte-americano Robert Stetson Shaw (1945-). Essa teoria surge do estudo de
certas figuras geométricas
especiais.
Uma árvore cujo tronco se divide em dois galhos principais, e cada um deles,
por sua vez, reparte-se em dois ramos
menores,
e assim por diante, contém cópias de si mesma dentro dela e recebe o nome de
fractal. Muita coisa na natureza se
comporta
como um fractal - como os redemoinhos, que contêm redemoinhos menores dentro
deles. A Teoria do Caos ensina que
todos
os fenômenos desse tipo parecem caóticos, mas podem ser colocados em fórmulas
matemáticas.
1993
– O matemático inglês Andrew Wiles (1952-) consegue provar o último teorema de
Fermat. Esse teorema lida com
expressões
do tipo 3²+4² = 5² (9+16 = 25) em que o 3, o 4 e o 5 estão elevados ao expoente
2. Fermat afirma, em 1637, que esse
tipo
de igualdade só dá certo quando o expoente é 2. Ele diz ter a prova dessa
descoberta, mas não a apresenta. Até hoje há dúvida
sobre
a declaração do francês.
1998
– Thomas Hales, da Universidade de Michigan, consegue demonstrar que há uma
maneira ideal de agrupar esferas num
certo
volume. Essa idéia havia sido sugerida pela primeira vez há 387 anos pelo
astrônomo alemão Johannes Kepler.
Por exemplo:
Por exemplo:
disposição
mais simples possível: uma bola do lado da outra, em filas horizontais, e uma
exatamente sobre a outra. Provar essa
afirmação
não é tão fácil quanto parece, e ela tem importância em diversas áreas da
ciência, inclusive para a Teoria da Comunicação.
2001
– O matemático Michael Rabin, da Universidade Harvard, nos Estados Unidos,
desenvolve um código matematicamente
indecifrável,
com o qual será possível, no futuro, criar "chaves" eletrônicas para
enviar e receber mensagens pela <LV
ORD="8">internet</LV>.
Apenas o remetente e o destinatário, de posse do código, conseguirão saber o
seu conteúdo. A
descoberta,
no entanto, ainda não foi demonstrada publicamente.
A
idéia consiste, primeiro, em quebrar uma mensagem em uma infinidade de trechos
bem pequenos. Depois, esses trechos seriam
inseridos
em uma imensa seqüência de informações sem sentido e enviada em alta velocidade
pela internet. O remetente e o
destinatário
combinam, previamente, em quais pontos da seqüência serão inseridos os trechos
significativos, que, na chegada da
mensagem,
serão separados pelo destinatário da enxurrada de bits sem nexo. A velocidade
do fluxo não permitiria que um estranho
tivesse
tempo de fazer a separação. Além disso, a massa de informações que esconde a
mensagem seria tão grande que nenhum
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